Como funciona a simplificación de débedas: por que o teu grupo debe menos pagamentos do que cre

Abres o grupo despois dunha fin de semana fóra, tocas liquidar contas, e a aplicación dicheche que lle pagues 150 € a Ana. Ti nunca lle mercaches nada a Ana. Ti pagaches o combustible, Brais fixo a compra, e dalgún xeito a suxestión é unha transferencia á persoa que reservou a casa. Parece que a aplicación reordenou as túas débedas ás túas costas.

Nun sentido fíxoo, e en canto vexas como, non volverás discutilo: simplificar as débedas cambia quen lle paga a quen, nunca canto acaba gañando ou perdendo cada persoa.

Dúas formas de describir a mesma fin de semana

Hai dúas formas honestas de escribir o que debe un grupo despois dunha viaxe.

A primeira son os pagarés por parellas: cada gasto crea unha pequena débeda de cada persoa que o compartiu cara a quen o pagou. Cinco amigos comparten unha casa que pagou Ana, así que os outros catro lle deben a Ana un quinto; Brais merca a comida, así que Ana e outros tres lle deben a Brais un quinto diso. Unha ducia de gastos despois hai decenas de frechas cruzando o grupo, moitas apuntando en direccións opostas entre as mesmas dúas persoas, que é no que sempre acaba levar a conta de quen che debe diñeiro a man.

A segunda son os saldos netos: unha cifra por persoa — o que pagou polo grupo menos a súa parte de todo o que o grupo gastou. Positivo significa que o grupo lle debe; negativo, que lle debe ao grupo.

As dúas conteñen a mesma información. A versión por parellas lembra a historia; a versión neta lembra o resultado. Liquidar vai do resultado.

A única cifra que importa: o teu neto

O teu neto é a única cifra que decide canto diñeiro sae ou entra no teu peto. Non lle importa a quen lle debes nin quen che debe, só o total. Se lle debes 120 a Ana e Ana che debe 40, ninguén espera dous pagamentos; págaslle 80 a Ana e listo. A simplificación de débedas é ese instinto aplicado a todo o grupo á vez en vez de a unha parella cada vez. É tamén por que unha folla de cálculo de gastos compartidos só precisa unha columna de pagado e outra de parte por persoa: o neto é a diferenza.

Por que os netos sempre suman cero

Cada euro que alguén pagou era a parte de alguén. A casa de 600 € de Ana son 120 € de parte para cada unha de cinco persoas, Ana incluída. Suma o que pagou cada quen e obtés o total do grupo; suma as partes de todos e obtés o mesmo total. Así que os netos, positivos e negativos xuntos, suman sempre exactamente cero: ás persoas que están arriba débeselles precisamente o que deben as que están abaixo. O diñeiro para saldar o grupo xa existe dentro del.

Dos netos ás transferencias

Os netos dividen o grupo en acredores (positivos, aos que se lles debe) e debedores (negativos, que deben). Unha transferencia move diñeiro dun debedor a un acredor e encolle as dúas cifras cara a cero. O método estándar, que é tamén o que inventarías nun gardanapo:

1. Colle a persoa que máis debe e a persoa á que máis se lle debe.
2. O debedor págalle ao acredor o menor dos dous importes. Polo menos unha das dúas queda a cero e sae.
3. Repite co que quede ata que todos os netos sexan cero.

Cada transferencia retira polo menos a unha persoa, así que un grupo de n persoas precisa como moito n − 1 transferencias, e normalmente moitas menos, porque varios debedores adoitan saldar contra un só acredor. Non se reasigna nada; as transferencias son simplemente unha ruta curta dos netos ata cero.

Un exemplo resolto: cinco amigos, unha casa na neve

Ana, Brais, Carme, Duarte e Estela pasan unha fin de semana de esquí xuntos e repárteno todo a partes iguais.

Por parellas, cada gasto crea catro pagarés a quen o pagou: catro persoas débenlle a Ana 120 € pola casa, catro débenlle a Brais 40 € pola compra, catro débenlle 30 € a Carme, catro débenlle 10 € a Duarte. Dezaseis pagarés. Mesmo despois de cancelar as frechas opostas dentro de cada parella, as dez parellas seguen debendo algo: Brais débelle 80 € a Ana, Carme débelle 90 € a Ana, Duarte débelle 110 € a Ana, Estela débelle 120 € a Ana, Carme débelle 10 € a Brais, e así. Dez pagamentos.

Os netos son máis simples. A parte de cada persoa dos 1.000 € é de 200 €:

Comprobación: 400 − 50 − 150 − 200 = 0. O grupo débelle a Ana exactamente o que Carme, Duarte e Estela lle deben ao grupo.

Simplificado, o emparellamento leva tres pasos: Estela (a que máis debe) págalle 200 € a Ana (á que máis se lle debe); Duarte págalle 150 € a Ana; Carme págalle 50 € a Ana. Ana ten os seus 400 €, todos os netos están a cero e o grupo está saldado. Tres transferencias en vez de dez.

Fíxate en Brais. No papel débelle 120 € a Ana pola casa e catro persoas débenlle 40 € cada unha pola compra. Debe 160 € e débenlle 160 €, así que o seu neto é cero e o plan déixao fóra por completo. Non paga nin recibe nada, o que é correcto: nada do que fixo cambiou a súa posición.

Por que acabas pagándolle a alguén a quen nunca lle mercaches nada

Colle a versión máis pequena da situación. Ana cubre a Brais 30 €; despois, Brais cubre a Carme 30 €. Por parellas: Brais débelle a Ana, Carme débelle a Brais — dous pagamentos, con Brais recibindo 30 € de Carme e entregándolle 30 € a Ana. Netos: Ana +30, Brais 0, Carme −30. Simplificado: Carme págalle 30 € a Ana, e a Brais non se lle toca.

Carme remata a fin de semana 30 € abaixo nas dúas versións; Ana remátaa 30 € arriba nas dúas. O único que eliminou a simplificación foi o papel de Brais como intermediario. Carme «débelle a Ana» non porque Ana lle mercase nada, senón porque Ana é onde debe aterrar o diñeiro que Carme lle debe ao grupo. A ruta é máis curta; a xustiza é idéntica.

A renuncia, e a saída

O custo da simplificación é social, non matemático. Nunha viaxe grande poden dicirche que lle pagues 40 € a un amigo dun amigo co que falaches dúas veces, en vez de á persoa que che pagou realmente o forfait. A algunhas persoas iso non lles gusta, e están no seu dereito.

Se o teu grupo prefire devolverlle exactamente a quen o cubriu, facédeo: rexistrade cada devolución directa e os saldos chegan a cero igualmente, en máis pasos. A simplificación é unha suxestión sobre o menor número de transferencias, non unha regra sobre quen é responsable de quen. En calquera caso, o que mantén tranquilo a un grupo é liquidar cun ritmo en vez de cunha sensación, para que os saldos nunca queden abertos o tempo suficiente para converterse nun relato.

E como todo funciona con netos, dá igual como se produciron as partes: os repartos a partes iguais, exactos, por porcentaxe ou artigo por artigo rematan todos nun neto por persoa, incluso nunha viaxe na que algúns custos só os comparte parte do grupo.

Onde entra Donget

Nun grupo de Donget, a pestana Saldos mostra o saldo de cada membro: un neto por persoa, positivo ou negativo, actualizado a medida que se engaden gastos e sincronizado con todo o mundo. Toca Liquidar contas e a aplicación propón o menor número de transferencias que leva todos os netos a cero.

Rexistrar un pagamento é unha transferencia; cada unha move dous saldos cara a cero ata que o grupo está saldado. Se o teu grupo prefire pagar por parellas, rexistrade esas transferencias: os saldos seguen sendo correctos igualmente. Vés doutra aplicación cun saldo aínda aberto? Tráeo como un gasto inicial e os netos continúan onde quedaran.

Preguntas frecuentes

Simplificar as débedas cambia canto debo?

Non. Só cambia a quen lle pagas, nunca canto. O teu neto — o que pagaches menos a túa parte do que gastou o grupo — é o mesmo antes e despois, e o de todos os demais tamén.

Por que lle debo a alguén a quen nunca lle merquei nada?

Porque a túa débeda cunha persoa e a débeda desa persoa cunha terceira cancélanse polo medio. Se Ana cubriu a Brais 30 e Brais cubriu a Carme 30, Brais está a cero, así que Carme págalle directamente a Ana; Carme queda 30 abaixo e Ana 30 arriba de calquera xeito.

O resultado simplificado é sempre o menor número posible de pagamentos?

É como moito un menos que o número de persoas do grupo, e normalmente moitos menos. Atopar o mínimo absoluto en todos os casos é un problema máis difícil, pero nun grupo de amigos a diferenza raramente é máis dun pagamento.

Podemos pagarnos directamente entre nós?

Si. A simplificación é unha suxestión, non unha regra. Se o teu grupo prefire que cadaquén lle devolva á persoa que o cubriu, rexistra eses pagamentos; os saldos chegan a cero igualmente, en máis pasos.

E se unha persoa pagou practicamente todo?

Entón o plan é o máis curto posible: todas as persoas que están en negativo lle pagan a esa persoa, e ninguén máis move diñeiro. O caso da fin de semana na neve: tres transferencias para cinco persoas, todas para quen reservou a casa.

Que pasa se alguén engade un gasto despois de liquidar?

Crea saldos netos frescos desde cero, e a seguinte suxestión de liquidación baséase neses. Os pagamentos que xa rexistraches seguen rexistrados; non hai nada que desfacer.

En resumo

A simplificación de débedas non é un truco. Deixa caer o historial de quen cubriu a quen, garda a única cifra por persoa que decide o diñeiro, e atopa un camiño curto desde esas cifras ata cero. Cinco amigos con dez débedas por parellas liquidan en tres transferencias, e cadaquén remata exactamente tan arriba ou tan abaixo como antes.

Descarga Donget de balde e deixa que a liquidación atope o menor número de transferencias a próxima vez que un grupo de vós marche de viaxe.