Cara pemudahan hutang berfungsi: kenapa kumpulan anda perlu membayar lebih sedikit daripada sangkaannya

Anda buka kumpulan itu selepas satu hujung minggu di luar, tekan butang selesaikan, dan aplikasi memberitahu anda supaya membayar Aisyah RM600. Anda tidak pernah membeli apa-apa daripada Aisyah. Anda yang bayar minyak, Haziq yang beli barang runcit, dan entah bagaimana cadangannya ialah satu pemindahan kepada orang yang menempah banglo. Rasanya seperti aplikasi itu telah menyusun semula hutang anda di belakang anda.

Memang begitu, dalam satu erti kata, dan sebaik anda faham caranya, anda tidak akan mempertikaikannya lagi: memudahkan hutang mengubah siapa membayar kepada siapa, bukan berapa banyak wang yang akhirnya masuk atau keluar dari poket sesiapa.

Dua cara menulis hujung minggu yang sama

Ada dua cara yang sama-sama jujur untuk mencatat apa yang terhutang dalam sebuah kumpulan selepas satu perjalanan.

Yang pertama ialah hutang berpasangan: setiap perbelanjaan mewujudkan hutang kecil daripada setiap orang yang berkongsi kepada orang yang membayarnya. Lima orang kawan berkongsi banglo yang dibayar Aisyah, jadi empat yang lain masing-masing terhutang satu perlima kepadanya; Haziq membeli barang runcit, jadi Aisyah dan tiga orang lain masing-masing terhutang satu perlima daripada itu kepada Haziq. Selepas belasan perbelanjaan, ada berpuluh anak panah bersilang dalam kumpulan itu, banyak antaranya menghala ke arah bertentangan antara dua orang yang sama — dan itulah yang sentiasa terjadi apabila anda menjejak siapa terhutang kepada anda secara manual.

Yang kedua ialah baki bersih: satu nombor bagi setiap orang — apa yang dia bayar untuk kumpulan, tolak bahagiannya daripada segala yang dibelanjakan kumpulan. Positif bermakna kumpulan terhutang kepadanya; negatif bermakna dia terhutang kepada kumpulan.

Kedua-duanya memegang maklumat yang sama. Versi berpasangan mengingati sejarahnya; versi bersih mengingati hasilnya. Berkira ialah tentang hasilnya.

Satu nombor yang penting: baki bersih anda

Baki bersih anda ialah satu-satunya angka yang menentukan berapa banyak wang keluar atau masuk poket anda. Ia tidak peduli kepada siapa anda terhutang atau siapa terhutang kepada anda, hanya jumlahnya. Kalau anda terhutang RM480 kepada Aisyah dan Aisyah terhutang RM160 kepada anda, tiada siapa mengharapkan dua bayaran; anda bayar Aisyah RM320 dan sudah. Pemudahan hutang ialah naluri yang sama itu dikenakan kepada seluruh kumpulan sekali gus, bukan sepasang demi sepasang. Itu juga sebab hamparan perbelanjaan kongsi hanya perlukan satu lajur dibayar dan satu lajur bahagian bagi setiap orang: bakinya ialah bezanya.

Kenapa baki bersih sentiasa berjumlah sifar

Setiap ringgit yang dibayar sesiapa ialah bahagian seseorang. Banglo RM2,400 yang dibayar Aisyah ialah RM480 bahagian bagi setiap seorang daripada lima orang, termasuk Aisyah sendiri. Campurkan apa yang dibayar semua orang dan anda dapat jumlah kumpulan; campurkan bahagian semua orang dan anda dapat jumlah yang sama. Jadi baki bersih, positif dan negatif digabungkan, sentiasa berjumlah tepat sifar — orang yang mendahului terhutang tepat sebanyak yang orang yang ketinggalan terhutang. Wang untuk melangsaikan kumpulan itu sudah pun wujud di dalamnya.

Daripada baki bersih kepada pemindahan

Baki bersih membahagikan kumpulan kepada pemiutang (positif, wangnya belum dipulangkan) dan penghutang (negatif, berhutang). Satu pemindahan menggerakkan wang daripada penghutang kepada pemiutang dan mengecilkan kedua-dua nombor ke arah sifar. Kaedah biasanya, yang juga kaedah yang anda sendiri akan cipta di atas sekeping tisu:

1. Ambil orang yang paling banyak berhutang dan orang yang paling banyak dipiutangkan.
2. Penghutang membayar pemiutang jumlah yang lebih kecil antara dua angka itu. Sekurang-kurangnya seorang daripada mereka kini berada pada sifar dan keluar daripada senarai.
3. Ulang dengan sesiapa yang tinggal sehingga setiap baki bersih menjadi sifar.

Setiap pemindahan menamatkan sekurang-kurangnya seorang, jadi kumpulan n orang memerlukan paling banyak n − 1 pemindahan, dan selalunya jauh lebih sedikit, sebab beberapa penghutang selalunya melangsai kepada satu pemiutang yang sama. Tiada apa-apa yang ditukar milik; pemindahan itu hanyalah jalan pintas daripada baki bersih ke sifar.

Contoh lengkap: lima orang kawan, satu banglo

Aisyah, Haziq, Wei Ming, Farah dan Amir menghabiskan satu hujung minggu di Cameron Highlands dan membahagi semuanya sama rata.

Secara berpasangan, setiap perbelanjaan mewujudkan empat hutang kepada orang yang membayarnya: empat orang terhutang RM480 kepada Aisyah untuk banglo, empat terhutang RM160 kepada Haziq untuk barang runcit, empat terhutang RM120 kepada Wei Ming, empat terhutang RM40 kepada Farah. Enam belas hutang. Walaupun selepas menghapuskan anak panah bertentangan dalam setiap pasangan, kesepuluh-sepuluh pasangan masih berbaki sesuatu — Haziq terhutang RM320 kepada Aisyah, Wei Ming terhutang RM360 kepada Aisyah, Farah terhutang RM440 kepada Aisyah, Amir terhutang RM480 kepada Aisyah, Wei Ming terhutang RM40 kepada Haziq, dan seterusnya. Sepuluh bayaran.

Baki bersih lebih ringkas. Bahagian setiap orang daripada RM4,000 ialah RM800:

Semak: 1,600 − 200 − 600 − 800 = 0. Kumpulan terhutang kepada Aisyah tepat sebanyak yang Wei Ming, Farah dan Amir terhutang kepada kumpulan.

Dipermudah, padanannya mengambil tiga langkah: Amir (paling banyak berhutang) membayar Aisyah (paling banyak dipiutangkan) RM800; Farah membayar Aisyah RM600; Wei Ming membayar Aisyah RM200. Aisyah mendapat RM1,600 miliknya, setiap baki bersih berada pada sifar, dan kumpulan itu bersih. Tiga pemindahan, bukan sepuluh.

Lihat Haziq. Di atas kertas dia terhutang RM480 kepada Aisyah untuk banglo, RM120 kepada Wei Ming untuk makan malam dan RM40 kepada Farah untuk minyak, sementara empat orang masing-masing terhutang RM160 kepadanya untuk barang runcit. Dia berhutang RM640 dan dipiutangkan RM640, jadi baki bersihnya sifar dan rancangan itu meninggalkannya sepenuhnya. Dia tidak membayar apa-apa dan tidak menerima apa-apa, dan itu betul: tiada apa yang dia lakukan mengubah kedudukannya.

Kenapa anda akhirnya membayar orang yang tidak pernah membelikan apa-apa untuk anda

Ambil versi paling kecil bagi keadaan ini. Aisyah menanggung Haziq RM120; kemudian, Haziq menanggung Wei Ming RM120. Berpasangan: Haziq terhutang kepada Aisyah, Wei Ming terhutang kepada Haziq — dua bayaran, dengan Haziq menerima RM120 daripada Wei Ming dan menghulurkan RM120 kepada Aisyah. Baki bersih: Aisyah +RM120, Haziq RM0, Wei Ming −RM120. Dipermudah: Wei Ming membayar Aisyah RM120, dan Haziq tidak disentuh.

Wei Ming mengakhiri hujung minggu itu kurang RM120 dalam kedua-dua versi; Aisyah mengakhirinya lebih RM120 dalam kedua-duanya. Yang dibuang oleh pemudahan hanyalah peranan Haziq sebagai orang tengah. Wei Ming “terhutang kepada Aisyah” bukan sebab Aisyah membelikan apa-apa untuknya, tetapi sebab Aisyah ialah tempat wang yang dia terhutang kepada kumpulan itu sepatutnya mendarat. Laluannya lebih pendek; keadilannya serupa.

Timbal balasnya, dan cara menolaknya

Kos pemudahan bersifat sosial, bukan matematik. Dalam perjalanan besar anda mungkin disuruh membayar RM160 kepada kawan kepada kawan yang anda bercakap dengannya dua kali sahaja, dan bukan kepada orang yang sebenarnya membelikan tiket masuk anda. Ada orang tidak menyukainya, dan itu hak mereka.

Kalau kumpulan anda lebih suka membayar balik tepat kepada orang yang menanggungnya, buatlah begitu: rekod setiap bayaran balik terus dan baki tetap sampai ke sifar, cuma dengan lebih banyak langkah. Pemudahan ialah cadangan tentang bilangan pemindahan paling sedikit, bukan peraturan tentang siapa bertanggungjawab kepada siapa. Apa pun caranya, yang menjaga ketenangan sebuah kumpulan ialah berkira mengikut rentak dan bukan mengikut perasaan, supaya baki tidak sempat duduk lama sehingga menjadi cerita.

Dan sebab semuanya berjalan atas baki bersih, cara bahagian itu dihasilkan tidak menjadi soal: sama rata, jumlah tepat, peratusan atau pembahagian ikut item semuanya berakhir dengan satu baki bersih bagi setiap orang — termasuk dalam perjalanan yang sebahagian kosnya dikongsi oleh sebahagian kumpulan sahaja.

Di mana Donget masuk

Dalam kumpulan Donget, tab Baki menunjukkan baki semua orang: satu baki bersih bagi setiap ahli, positif atau negatif, dikemas kini apabila perbelanjaan ditambah dan disegerakkan kepada semua orang. Tekan Selesaikan dan aplikasi mencadangkan bilangan pemindahan paling sedikit yang membawa setiap baki bersih ke sifar.

Merekodkan satu bayaran ialah satu Pemindahan; setiap satu menggerakkan dua baki ke arah sifar sehingga kumpulan itu bersih. Kalau kumpulan anda lebih suka membayar secara berpasangan, rekod pemindahan itu sebaliknya — baki kekal betul dalam kedua-dua cara. Berpindah daripada aplikasi lain dengan baki yang masih terbuka? Bawa ia masuk sebagai satu perbelanjaan pembuka dan baki bersih menyambung dari tempat ia berhenti.

Soalan lazim

Adakah memudahkan hutang mengubah jumlah yang saya terhutang?

Tidak. Ia hanya mengubah kepada siapa anda membayar, bukan berapa. Baki bersih anda — apa yang anda bayar tolak bahagian anda daripada perbelanjaan kumpulan — sama sebelum dan selepasnya, begitu juga baki setiap orang lain.

Kenapa saya terhutang kepada orang yang saya tidak pernah beli apa-apa daripadanya?

Sebab hutang anda kepada seorang dan hutang orang itu kepada orang ketiga saling menghapus di tengah. Kalau Aisyah menanggung Haziq RM120 dan Haziq menanggung Wei Ming RM120, Haziq sudah seimbang, jadi Wei Ming membayar terus kepada Aisyah; Wei Ming tetap kurang RM120 dan Aisyah tetap lebih RM120 dalam kedua-dua versi.

Adakah hasil yang dipermudah sentiasa bilangan bayaran paling sedikit yang mungkin?

Ia tidak melebihi satu kurang daripada bilangan orang dalam kumpulan, dan selalunya jauh lebih sedikit. Mencari nilai minimum mutlak dalam setiap kes ialah masalah yang lebih sukar, tetapi bagi sekumpulan kawan bezanya jarang lebih daripada satu bayaran.

Boleh tak kami bayar terus sesama sendiri sebaliknya?

Boleh. Pemudahan ialah cadangan, bukan peraturan. Kalau kumpulan anda lebih suka setiap orang membayar balik kepada orang yang menanggungnya, rekod bayaran itu; baki tetap sampai ke sifar, cuma dengan lebih banyak langkah.

Bagaimana kalau seorang yang membayar hampir segalanya?

Maka rancangan itu menjadi sependek mungkin: semua orang yang ketinggalan membayar kepada orang itu, dan tiada sesiapa lagi memindahkan wang — itulah kes hujung minggu di Cameron Highlands, tiga pemindahan untuk lima orang, semuanya mendarat pada sesiapa yang menempah banglo.

Apa jadi kalau seseorang menambah perbelanjaan selepas kami selesai berkira?

Ia menghasilkan baki bersih yang segar bermula dari sifar, dan cadangan penyelesaian berikutnya berdasarkan baki itu. Bayaran yang sudah anda rekod kekal terekod; tiada apa yang perlu dibatalkan.

Kesimpulan

Pemudahan hutang bukan silap mata. Ia menggugurkan sejarah siapa menanggung siapa, mengekalkan satu nombor bagi setiap orang yang menentukan wangnya, dan mencari jalan pendek daripada nombor itu ke sifar. Lima orang kawan dengan sepuluh hutang berpasangan berkira dengan tiga pemindahan, dan setiap orang berakhir tepat sebanyak mana dia mendahului atau ketinggalan seperti sebelumnya.

Muat turun Donget secara percuma dan biar Selesaikan mencari bilangan pemindahan paling sedikit pada kali seterusnya sekumpulan anda pergi bercuti.