Como funciona a simplificação de dívidas: por que seu grupo deve menos pagamentos do que pensa

Você abre o grupo depois de um fim de semana fora, toca em acertar contas, e o app manda você pagar R$ 900 para a Ana. Você nunca comprou nada da Ana. Você pagou o combustível, o Ben fez o mercado, e de algum jeito a sugestão é uma transferência para quem reservou o chalé. Parece que o app remanejou suas dívidas pelas suas costas.

Em certo sentido remanejou mesmo, e depois que você vê como, nunca mais discute com isso: simplificar dívidas muda quem paga quem, nunca quanto cada um termina no positivo ou no negativo.

Duas maneiras de descrever o mesmo fim de semana

Existem duas formas honestas de anotar o que um grupo deve depois de uma viagem.

A primeira são dívidas par a par: cada despesa cria uma pequena dívida de cada pessoa que a dividiu para quem pagou. Cinco amigos dividem um chalé que a Ana pagou, então os outros quatro devem um quinto cada a ela; o Ben compra o mercado, então a Ana e mais três devem um quinto disso a ele. Uma dúzia de despesas depois há dezenas de setas cruzando o grupo, muitas apontando em direções opostas entre as mesmas duas pessoas — que é no que sempre acaba controlar na mão quem lhe deve o quê.

A segunda são saldos líquidos: um número por pessoa — o que ela pagou pelo grupo, menos a parte dela de tudo o que o grupo gastou. Positivo quer dizer que o grupo deve a ela; negativo quer dizer que ela deve ao grupo.

Os dois guardam a mesma informação. A versão par a par lembra a história; a versão líquida lembra o resultado. Acertar contas é sobre o resultado.

O único número que importa: o seu líquido

Seu líquido é o único valor que decide quanto dinheiro sai ou entra no seu bolso. Ele não liga para quem você deve ou quem deve a você, só para o total. Se você deve R$ 720 à Ana e a Ana deve R$ 240 a você, ninguém espera dois pagamentos; você paga R$ 480 e pronto. A simplificação de dívidas é esse instinto aplicado ao grupo inteiro de uma vez em vez de a um par por vez. É também por isso que uma planilha de despesas compartilhadas só precisa de uma coluna pagou e uma parte por pessoa: o líquido é a diferença.

Por que os líquidos sempre somam zero

Cada real que alguém pagou era a parte de alguém. O chalé de R$ 3.600 da Ana é R$ 720 de parte para cada uma de cinco pessoas, Ana incluída. Some o que todo mundo pagou e você tem o total do grupo; some as partes de todo mundo e você tem o mesmo total. Então os líquidos, positivos e negativos juntos, sempre somam exatamente zero — quem está na frente tem a receber exatamente o que quem está atrás deve. O dinheiro para zerar o grupo já existe dentro dele.

Dos líquidos para as transferências

Os líquidos dividem o grupo em credores (positivo, têm a receber) e devedores (negativo, têm a pagar). Uma transferência move dinheiro de um devedor para um credor e encolhe os dois números na direção do zero. O método padrão, que é também o que você inventaria num guardanapo:

1. Pegue quem deve mais e quem tem mais a receber.
2. O devedor paga ao credor o menor dos dois valores. Pelo menos um dos dois está agora em zero e sai da conta.
3. Repita com quem sobrou até todos os líquidos serem zero.

Cada transferência aposenta pelo menos uma pessoa, então um grupo de n pessoas precisa de no máximo n − 1 transferências, e normalmente bem menos, porque vários devedores costumam zerar contra um credor. Nada é reatribuído; as transferências são simplesmente um caminho curto dos líquidos até o zero.

Um exemplo resolvido: cinco amigos, um chalé

Ana, Ben, Cem, Dara e Eli passam um fim de semana na neve e dividem tudo igualmente.

Par a par, cada despesa cria quatro dívidas para quem a pagou: quatro pessoas devem R$ 720 à Ana pelo chalé, quatro devem R$ 240 ao Ben pelo mercado, quatro devem R$ 180 ao Cem, quatro devem R$ 60 à Dara. Dezesseis dívidas. Mesmo depois de cancelar as setas opostas dentro de cada par, os dez pares ainda devem alguma coisa — Ben deve R$ 480 à Ana, Cem deve R$ 540 à Ana, Dara deve R$ 660 à Ana, Eli deve R$ 720 à Ana, Cem deve R$ 60 ao Ben, e assim por diante. Dez pagamentos.

Os líquidos são mais simples. A parte de cada um nos R$ 6.000 é R$ 1.200:

Conferindo: 2.400 − 300 − 900 − 1.200 = 0. O grupo deve à Ana exatamente o que Cem, Dara e Eli devem ao grupo.

Simplificado, o pareamento leva três passos: Eli (deve mais) paga R$ 1.200 à Ana (tem mais a receber); Dara paga R$ 900 à Ana; Cem paga R$ 300 à Ana. Ana tem seus R$ 2.400, todos os líquidos estão em zero, e o grupo está limpo. Três transferências em vez de dez.

Olhe para o Ben. No papel ele deve R$ 720 à Ana pelo chalé e tem R$ 240 a receber de cada uma de quatro pessoas pelo mercado. Ele deve R$ 960 e tem R$ 960 a receber, então o líquido dele é zero e o plano o deixa de fora inteiramente. Ele não paga nada e não recebe nada, o que está certo: nada do que ele fez mudou a posição dele.

Por que você acaba pagando alguém de quem nunca comprou nada

Pegue a menor versão da situação. Ana cobre o Ben em R$ 180; depois, Ben cobre o Cem em R$ 180. Par a par: Ben deve à Ana, Cem deve ao Ben — dois pagamentos, com o Ben recebendo R$ 180 do Cem e entregando R$ 180 à Ana. Líquidos: Ana +180, Ben 0, Cem −180. Simplificado: Cem paga R$ 180 à Ana, e o Ben não é tocado.

Cem termina o fim de semana R$ 180 no negativo nas duas versões; Ana termina R$ 180 no positivo nas duas. Tudo o que a simplificação removeu foi o papel do Ben como intermediário. Cem «deve à Ana» não porque a Ana comprou algo para ele, mas porque a Ana é onde o dinheiro que ele deve ao grupo precisa aterrissar. O trajeto é mais curto; a justiça é idêntica.

O custo e a saída

O custo da simplificação é social, não matemático. Numa viagem grande você pode ser mandado a pagar R$ 240 a um amigo de um amigo com quem falou duas vezes, em vez da pessoa que de fato comprou seu passe de esqui. Tem gente que não gosta disso, e tem todo o direito.

Se o seu grupo prefere devolver exatamente a quem cobriu, façam assim: registrem cada devolução direta e os saldos chegam a zero do mesmo jeito, em mais passos. A simplificação é uma sugestão sobre o menor número de transferências, não uma regra sobre quem é responsável por quem. De um jeito ou de outro, o que mantém um grupo tranquilo é acertar num ritmo em vez de numa sensação, para que os saldos nunca fiquem parados tempo suficiente para virar história.

E como tudo roda sobre líquidos, não importa como as partes foram produzidas: igual, exata, porcentagem ou item por item — tudo termina em um líquido por pessoa, inclusive numa viagem em que alguns custos são divididos só por parte do grupo.

Onde o Donget entra

Num grupo do Donget, a aba Saldos mostra o saldo de cada um: um líquido por membro, positivo ou negativo, atualizado conforme as despesas entram e sincronizado com todo mundo. Toque em Acertar contas e o app sugere as menos transferências que levam todos os líquidos a zero.

Registrar um pagamento é Registrar uma transferência; cada uma move dois saldos na direção do zero até o grupo ficar limpo. Se o seu grupo prefere pagar par a par, registrem essas transferências — os saldos continuam corretos de qualquer jeito. Vindo de outro app com um saldo ainda aberto? Traga-o como uma despesa de abertura e os líquidos retomam de onde pararam.

Perguntas frequentes

Simplificar dívidas muda quanto eu devo?

Não. Só muda para quem você paga, nunca quanto. Seu líquido — o que você pagou menos a sua parte do que o grupo gastou — é o mesmo antes e depois, e o de todo mundo também.

Por que eu devo a alguém de quem nunca comprei nada?

Porque sua dívida com uma pessoa e a dívida dela com uma terceira se cancelam pelo meio. Se Ana cobriu Ben em R$ 180 e Ben cobriu Cem em R$ 180, Ben está quites, então Cem paga direto à Ana; Cem termina R$ 180 no negativo e Ana R$ 180 no positivo de qualquer jeito.

O resultado simplificado é sempre o menor número possível de pagamentos?

É no máximo um a menos que o número de pessoas do grupo, e normalmente bem menos. Encontrar o mínimo absoluto em todos os casos é um problema mais difícil, mas para um grupo de amigos a diferença raramente passa de um pagamento.

Podemos simplesmente pagar uns aos outros direto?

Podem. A simplificação é uma sugestão, não uma regra. Se o grupo prefere que cada um devolva a quem cobriu, registrem esses pagamentos; os saldos chegam a zero do mesmo jeito, em mais passos.

E se uma pessoa pagou quase tudo?

Aí o plano é o mais curto possível: todo mundo que está atrás paga essa pessoa, e ninguém mais movimenta dinheiro — o fim de semana na neve, três transferências para cinco pessoas, todas para quem reservou o chalé.

O que acontece se alguém lançar uma despesa depois de a gente ter acertado?

Ela cria saldos líquidos novos a partir do zero, e a próxima sugestão de acerto se baseia neles. Os pagamentos já registrados continuam registrados; não há nada a desfazer.

Resumindo

Simplificação de dívidas não é um truque. Ela descarta o histórico de quem cobriu quem, mantém o único número por pessoa que decide o dinheiro, e encontra um caminho curto desses números até o zero. Cinco amigos com dez dívidas par a par acertam em três transferências, e cada um termina exatamente tão à frente ou atrás quanto antes.

Baixe o Donget grátis e deixe o Acertar contas achar as menos transferências na próxima vez que um grupo de vocês viajar.