Як працуе спрашчэнне даўгоў: чаму ваша кампанія вінная менш плацяжоў, чым думае

Вы адкрываеце групу пасля выходных і націскаеце разлік, а праграма кажа заплаціць Ганне 450 руб. Вы ў Ганны нічога не куплялі. Вы плацілі за паліва, Барыс купляў прадукты, а прапанова чамусьці — адзін перавод чалавеку, які браніраваў дом. Здаецца, што праграма перакроіла вашы даўгі за вашай спіной.

У пэўным сэнсе так і ёсць, і як толькі вы ўбачыце як, спрачацца больш не будзеце: спрашчэнне даўгоў мяняе, хто каму плаціць, а не тое, наколькі хто ў выніку ў плюсе ці мінусе.

Два спосабы апісаць адны і тыя ж выходныя

Ёсць два сумленныя спосабы запісаць, што вінная кампанія пасля паездкі.

Першы — папарныя пазыкі: кожны выдатак стварае маленькі доўг ад кожнага, хто яго дзяліў, да таго, хто заплаціў. Пяцёра дзеляць дом, за які заплаціла Ганна, таму астатнія чацвёра вінныя ёй па пятай частцы; Барыс купляе прадукты, таму Ганна і яшчэ трое вінныя яму па пятай частцы. Праз тузін выдаткаў па групе цягнуцца дзясяткі стрэлак, і многія з іх глядзяць у процілеглыя бакі паміж адной і той жа парай — менавіта ў гэта заўсёды ператвараецца ўлік таго, хто вам вінен, калі весці яго ўручную.

Другі — чыстыя балансы: адна лічба на чалавека — колькі ён заплаціў за групу мінус яго доля ад усяго, што група патраціла. Плюс значыць, што група вінная яму; мінус — што ён вінен групе.

Абодва змяшчаюць адну і тую ж інфармацыю. Папарная версія памятае гісторыю; чыстая — вынік. Разлік — пра вынік.

Адзіная лічба, якая мае значэнне: ваш чысты баланс

Ваш чысты баланс — адзіная лічба, што вырашае, колькі грошай выйдзе ці зойдзе ў ваш кішэнь. Яго не цікавіць, каму вы вінныя і хто вінен вам, толькі агульны вынік. Калі вы вінныя Ганне 360 руб., а Ганна вам 120 руб., ніхто не чакае двух плацяжоў: вы плаціце ёй 240 руб. і скончана. Спрашчэнне даўгоў — гэта той самы інстынкт, ужыты адразу да ўсёй групы замест пары за парай. Таму і табліцы агульных выдаткаў хапае двух слупкоў на чалавека — заплаціў і доля: чысты баланс — гэта розніца.

Чаму чыстыя балансы заўсёды даюць нуль

Кожны рубель, які хтосьці заплаціў, быў чыёйсьці доляй. Дом Ганны за 1 800 руб. — гэта па 360 руб. долі на кожнага з пяці, разам з самой Ганнай. Складзіце тое, што заплацілі ўсе, і атрымаеце агульную суму групы; складзіце долі ўсіх — атрымаеце тую самую суму. Таму чыстыя балансы, дадатныя і адмоўныя разам, заўсёды даюць роўна нуль: тым, хто наперадзе, вінныя роўна столькі, колькі вінныя тыя, хто ззаду. Грошы, каб закрыць групу, ужо ёсць унутры яе.

Ад чыстых балансаў да пераводаў

Чыстыя балансы дзеляць групу на крэдытораў (плюс, ім вінныя) і даўжнікоў (мінус, яны вінныя). Пераклад пераносіць грошы ад даўжніка да крэдытора і сцягвае абедзве лічбы да нуля. Стандартны метад — той самы, які вы б выдумалі на сурвэтцы:

1. Вазьміце таго, хто вінен найбольш, і таго, каму вінныя найбольш.
2. Даўжнік плаціць крэдытору меншую з дзвюх сум. Прынамсі адзін з іх цяпер у нулі і выбывае.
3. Паўтарыце з тымі, хто застаўся, пакуль кожны баланс не стане нулём.

Кожны перавод закрывае прынамсі аднаго чалавека, таму групе з n удзельнікаў патрэбна не больш за n − 1 пераводаў, а звычайна значна менш, бо некалькі даўжнікоў часта гасяцца адным крэдыторам. Нічога не пераразмяркоўваецца; пераводы — гэта проста кароткі шлях ад балансаў да нуля.

Разабраны прыклад: пяцёра сяброў, адзін дом

Ганна, Барыс, Дзяніс, Дар’я і Ігар праводзяць лыжныя выходныя разам і дзеляць усё пароўну.

Папарна кожны выдатак стварае чатыры пазыкі да таго, хто заплаціў: чацвёра вінныя Ганне па 360 руб. за дом, чацвёра Барысу па 120 руб., чацвёра Дзянісу па 90 руб., чацвёра Дар’і па 30 руб. Шаснаццаць пазык. Нават пасля ўзаемнага гашэння ў кожнай пары ўсе дзесяць пар усё яшчэ нешта вінныя: Барыс вінен Ганне 240 руб., Дзяніс 270 руб., Дар’я 330 руб., Ігар 360 руб., Дзяніс вінен Барысу 30 руб. і гэтак далей. Дзесяць плацяжоў.

Чыстыя балансы прасцейшыя. Доля кожнага ад 3 000 руб. — 600 руб.:

Праверка: 1 200 − 150 − 450 − 600 = 0. Група вінная Ганне роўна столькі, колькі Дзяніс, Дар’я і Ігар вінныя групе.

Спрошчана супастаўленне займае тры крокі: Ігар (вінен найбольш) плаціць Ганне (ёй вінныя найбольш) 600 руб.; Дар’я плаціць 450 руб.; Дзяніс плаціць 150 руб. Ганна мае свае 1 200 руб., кожны баланс у нулі, група чыстая. Тры пераводы замест дзесяці.

Паглядзіце на Барыса. На паперы ён вінен Ганне 360 руб. за дом, а яму вінныя па 120 руб. чацвёра за прадукты. Ён вінен 480 руб. і яму вінныя 480 руб., таму яго баланс нулявы, і план яго цалкам абыходзіць. Ён нічога не плаціць і нічога не атрымлівае — і гэта правільна: нішто з таго, што ён зрабіў, не змяніла яго становішча.

Чаму вы ў выніку плаціце таму, у каго нічога не куплялі

Возьмем найменшую версію сітуацыі. Ганна пакрывае 90 руб. за Барыса; пазней Барыс пакрывае 90 руб. за Дзяніса. Папарна: Барыс вінен Ганне, Дзяніс вінен Барысу — два плацяжы, прычым Барыс атрымлівае 90 руб. ад Дзяніса і аддае 90 руб. Ганне. Чыстыя балансы: Ганна +90, Барыс 0, Дзяніс −90. Спрошчана: Дзяніс плаціць Ганне 90 руб., а Барыса гэта не кранае.

Дзяніс сканчае выходныя на 90 руб. у мінусе ў абедзвюх версіях; Ганна — на 90 руб. у плюсе ў абедзвюх. Спрашчэнне прыбрала толькі ролю Барыса як пасярэдніка. Дзяніс «вінен Ганне» не таму, што Ганна яму нешта купіла, а таму, што Ганна — гэта тое месца, куды мусяць трапіць грошы, якія Дзяніс вінен групе. Маршрут карацейшы; справядлівасць тая самая.

Кампраміс і магчымасць адмовіцца

Цана спрашчэння сацыяльная, а не матэматычная. У вялікай паездцы вам могуць сказаць заплаціць 120 руб. сябру сябра, з якім вы гаварылі двойчы, замест таго, хто купіў вам ски-пас. Некаторым гэта не падабаецца, і яны маюць рацыю.

Калі вашай кампаніі больш падабаецца вяртаць менавіта таму, хто пакрыў, — так і рабіце: запішыце кожнае прамое вяртанне, і балансы ўсё роўна дойдуць да нуля, проста ў большай колькасці крокаў. Спрашчэнне — гэта прапанова пра найменшую колькасць пераводаў, а не правіла пра тое, хто за каго адказвае. У любым выпадку кампанію супакойвае разлік па рытме, а не па адчуванні, каб балансы ніколі не ляжалі дастаткова доўга, каб стаць гісторыяй.

І паколькі ўсё трымаецца на чыстых балансах, спосаб вылічэння доляў не мае значэння: пароўну, дакладнымі сумамі, працэнтамі ці пазіцыя за пазіцыяй — усё сканчаецца адным балансам на чалавека, у тым ліку ў паездцы, дзе некаторыя выдаткі дзеліць толькі частка кампаніі.

Дзе тут Donget

У групе Donget укладка Балансы паказвае балансы ўсіх: адзін чысты баланс на ўдзельніка, дадатны ці адмоўны, які абнаўляецца пры даданні выдаткаў і сінхранізуецца з усімі. Націсніце Разлічыцца, і праграма прапануе найменшую колькасць пераводаў, што прыводзяць усе балансы да нуля.

Запіс плацяжу — гэта пераклад; кожны з іх рухае два балансы да нуля, пакуль група не стане чыстай. Калі ваша кампанія любіць плаціць папарна, запішыце такія пераклады — балансы застануцца правільнымі. Пераходзіце з іншай праграмы з адкрытым балансам? Перанясіце яго адным пачатковым выдаткам, і балансы працягнуцца з таго месца, дзе спыніліся.

Частыя пытанні

Ці мяняе спрашчэнне даўгоў тое, колькі я вінен?

Не. Мяняецца толькі каму вы плаціце, а не колькі. Ваш чысты баланс аднолькавы да і пасля.

Чаму я вінен таму, у каго нічога не купляў?

Бо ваш доўг перад адным і яго доўг перад трэцім гасяцца праз сярэдзіну, і вы плаціце адразу канчатковаму крэдытору.

Ці заўсёды спрошчаны вынік — найменшая магчымая колькасць плацяжоў?

Ён не большы за колькасць людзей мінус адзін, а звычайна значна меншы.

Ці можам мы проста плаціць адзін аднаму напрамую?

Так. Спрашчэнне — прапанова, а не правіла. Балансы ўсё роўна дойдуць да нуля, проста ў большай колькасці крокаў.

А калі адзін чалавек заплаціў амаль за ўсё?

Тады план найкарацейшы: усе, хто ў мінусе, плацяць яму, і больш ніхто не рухае грошы.

Што адбудзецца, калі хтосьці дадасць выдатак пасля разліку?

Ён створыць свежыя балансы ад нуля, і наступная прапанова будзе на іх аснове. Адмяняць нічога не трэба.

Галоўнае

Спрашчэнне даўгоў — не фокус. Яно адкідае гісторыю таго, хто каго пакрыў, пакідае адзіную лічбу на чалавека, якая вырашае грошы, і знаходзіць кароткі шлях ад гэтых лічбаў да нуля. Пяцёра сяброў з дзесяццю папарнымі даўгамі разлічваюцца трыма пераводамі, і кожны сканчае роўна настолькі ў плюсе ці мінусе, як і раней.

Спампуйце Donget бясплатна і дазвольце разліку знайсці найменш пераводаў у наступную сумесную паездку.