債務の簡略化の仕組み — グループの支払い回数が思っているより少ない理由

出かけた週末のあとにグループを開き、精算をタップすると、アプリはアナに 22,500円 払えと言います。あなたはアナから何も買っていません。ガソリン代はあなたが払い、買い出しはベンがして、それなのに提案はシャレーを予約した人への送金一件です。アプリが背後で借金を組み替えたように感じます。

ある意味そのとおりで、そしてその仕組みが見えれば、二度と言い争うことはなくなります。債務の簡略化が変えるのは誰が誰に払うかであって、最終的に誰がいくら得をするか損をするかは決して変わりません。

同じ週末を書き表す二つのやり方

旅行のあとにグループが何を負っているかを書き留める、正直な方法が二つあります。

一つ目は 二者間の貸し借り です。支出のたびに、それを分けた各人から払った人への小さな借りが生まれます。五人がアナの払ったシャレーを分けるなら、ほかの四人がそれぞれ五分の一をアナに負い、ベンが買い出しをすれば、アナとほか三人がそれぞれ五分の一をベンに負います。十件ほどの支出を経ると、グループの中を数十本の矢が交差し、同じ二人のあいだで反対向きのものも多くなります。誰にいくら貸しているかを手で追うと必ずこうなります。

二つ目は 差引残高 です。ひとりにつき一つの数字 — グループのために払った額から、グループが使った総額に占める自分の負担分を引いたもの。プラスならグループがその人に負っており、マイナスならその人がグループに負っています。

どちらも同じ情報を持っています。二者間の形は履歴を覚え、差引の形は結果を覚えます。精算は結果の話です。

意味のある唯一の数字 — あなたの差引

差引はあなたの財布からいくら出て、いくら入るかを決める唯一の数字です。誰に 負っているかも誰があなたに負っているかも関係なく、合計だけを見ます。アナに 18,000円 負い、アナがあなたに 6,000円 負っているなら、誰も二回の支払いを期待しません。アナに 12,000円 払って終わりです。債務の簡略化は、その直感を一組ずつではなくグループ全体に一度に当てはめたものです。共有支出の表計算にひとりあたり 払った と 負担 の二列しか要らないのも同じ理由で、差引はその差です。

差引の合計がいつもゼロになる理由

誰かが払った一円は必ず誰かの負担分でした。アナの 90,000円 のシャレーは、アナを含む五人それぞれにとって 18,000円 の負担です。全員が払った額を足せばグループの総額になり、全員の負担分を足しても同じ総額になります。だから差引は、プラスとマイナスを合わせるとつねにぴったりゼロになります。前に出ている人が受け取るべき額は、後ろにいる人が負っている額とちょうど同じです。グループを清算するお金は、すでにグループの中にあります。

差引から送金へ

差引はグループを 債権側（プラス、受け取る側）と 債務側（マイナス、払う側）に分けます。送金は債務側から債権側へお金を動かし、両方の数字をゼロへ縮めます。標準的な手順は、ナプキンの上でも思いつくものです。

1. いちばん多く負っている人と、いちばん多く受け取る人を取ります。
2. 債務側が債権側に、二つの額のうち小さいほうを払います。少なくとも片方はこれでゼロになり、抜けます。
3. 残った人で繰り返し、すべての差引がゼロになるまで続けます。

送金のたびに少なくともひとりが抜けるので、n 人のグループに必要な送金は最大でも n − 1 回、たいていはそれよりずっと少なくなります。複数の債務側がひとりの債権側に対してまとめて解消することが多いからです。何かが割り当て直されるわけではありません。送金は差引からゼロへの短い経路にすぎません。

計算した例 — 友人五人、シャレー一軒

アナ、ベン、セム、ダラ、エリがスキーの週末を過ごし、すべて均等に分けます。

二者間 では、支出ごとに払った人への貸しが四件生まれます。四人がシャレーの 18,000円 をアナに、四人が買い出しの 6,000円 をベンに、四人が 4,500円 をセムに、四人が 1,500円 をダラに負います。十六件。各組の中で反対向きの矢を相殺しても、十組すべてに何かが残ります。ベンはアナに 12,000円、セムはアナに 13,500円、ダラはアナに 16,500円、エリはアナに 18,000円、セムはベンに 1,500円、といった具合です。十件の支払い。

差引 はもっと単純です。150,000円 に対する一人あたりの負担は 30,000円 です。

検算：60,000 − 7,500 − 22,500 − 30,000 = 0。グループがアナに負う額は、セムとダラとエリがグループに負う額とちょうど同じです。

簡略化 すると、組み合わせは三段階で済みます。エリ（最も多く負う）がアナ（最も多く受け取る）に 30,000円、ダラがアナに 22,500円、セムがアナに 7,500円。アナは 60,000円 を手にし、すべての差引はゼロ、グループは清算されました。十回ではなく三回。

ベンを見てください。紙の上では、シャレーで 18,000円 をアナに負い、買い出しで四人からそれぞれ 6,000円 を受け取ります。24,000円 を負い、24,000円 を受け取るので差引はゼロ、案は彼を完全に外します。払いもせず受け取りもしない。それが正しい姿です。彼のしたことは彼の位置を変えていないからです。

何も買っていない相手に払うことになる理由

いちばん小さい形で見ます。アナがベンの分を 4,500円 立て替え、のちにベンがセムの分を 4,500円 立て替えます。二者間では、ベンがアナに負い、セムがベンに負う。二回の支払いで、ベンはセムから 4,500円 受け取り、アナへ 4,500円 渡します。差引では、アナ +4,500、ベン 0、セム −4,500。簡略化すると、セムがアナに 4,500円 払い、ベンは無関係になります。

セムはどちらの形でも週末を 4,500円 のマイナスで終え、アナはどちらでも 4,500円 のプラスで終えます。簡略化が取り除いたのはベンの中継役だけです。セムが「アナに負う」のは、アナが何かを買ってくれたからではなく、セムがグループに負っているお金の着地点がアナだからです。経路が短いだけで、公平さは同一です。

引き換えに失うものと、断る選択

簡略化の代償は社会的なもので、数学的なものではありません。大きな旅行では、実際にリフト券を買ってくれた人ではなく、二度しか話していない友人の友人に 6,000円 払うよう言われることがあります。それを嫌う人はいますし、嫌ってかまいません。

立て替えてくれた本人に返したいグループなら、そうしてください。直接の返済をそのつど記録すれば、残高は手数が増えるだけで同じようにゼロに達します。簡略化は送金回数を最小にする提案であって、誰が誰に責任を負うかのルールではありません。いずれにせよグループを落ち着かせるのは気分ではなくリズムで精算することで、残高が物語になるほど長く居座らないようにすることです。

そしてすべてが差引の上で動く以上、負担分がどう作られたかは関係ありません。均等でも、金額指定でも、割合でも、一品ずつでも、最後はひとりにつき一つの差引に落ち着きます。一部の費用をグループの一部だけが分ける旅行でも同じです。

Donget の位置

Donget のグループでは、残高 タブがメンバーごとの残高を表示します。ひとりにつき一つの差引が、プラスかマイナスで、支出が追加されるたびに更新され、全員に同期されます。精算する をタップすると、すべての差引をゼロにする最小の送金をアプリが提案します。

支払いの記録は 送金を記録 です。一件ごとに二つの残高がゼロへ近づき、グループが清算されるまで続きます。二者間で払いたいグループなら、その送金を記録してください。残高はどちらでも正しいままです。ほかのアプリから残高を抱えたまま移ってくる場合は、開始時の支出一件として持ち込めば、差引は途切れたところから続きます。

よくある質問

債務を簡略化すると支払う金額は変わりますか？

変わりません。変わるのは誰に払うかだけで、いくら払うかは決して変わりません。あなたの差引 — 払った額から、グループが使った総額に占める負担分を引いたもの — は前後で同じで、ほかの人も同じです。

何も買っていない相手に、なぜ払うことになるのですか？

あなたのある人への借りと、その人の第三者への借りが真ん中で相殺されるからです。アナがベンの分を 4,500円 立て替え、ベンがセムの分を 4,500円 立て替えたなら、ベンは均衡しているのでセムがアナへ直接払います。どちらでもセムは 4,500円 のマイナス、アナは 4,500円 のプラスです。

簡略化した結果は常に最小回数の支払いになりますか？

グループの人数より最大でひとつ少ない回数で収まり、たいていはそれよりずっと少なくなります。あらゆる場合で絶対的な最小を求めるのは難しい問題ですが、友人どうしなら差は一回を超えることがほとんどありません。

代わりに直接払い合ってもいいですか？

かまいません。簡略化は提案であってルールではありません。立て替えてくれた人に返したいグループなら、その支払いを記録してください。残高は手数が増えるだけで同じようにゼロに達します。

ひとりがほとんど全部払っていた場合は？

その案はこれ以上短くなりません。マイナスの人が全員そのひとりに払い、ほかの誰も送金しません。スキー旅行の例で、五人で三回、すべてシャレーを予約した人へ。

精算したあとで誰かが支出を追加したらどうなりますか？

ゼロから新しい差引残高が作られ、次の精算提案はそれに基づきます。すでに記録した支払いはそのまま残り、取り消す必要はありません。

まとめ

債務の簡略化は小細工ではありません。誰が誰の分を立て替えたかという履歴を落とし、お金を決めるひとりひとつの数字だけを残し、その数字からゼロへの短い道を見つけます。二者間で十件の貸し借りを抱えた五人が三回の送金で片づき、全員が前とまったく同じだけ得をし、損をした状態で終わります。

Donget を無料でダウンロードして、次にみんなで出かけたときの精算を、最小の送金に任せてください。